Linear Transformation And Matrix

一些我对线性变换以及矩阵的理解

我认为学习数学要学会从几何的角度去理解

线性变换

代数学中，空间指的是赋予了某种运算结构的集合，“变换”是空间到空间的映射，而线性变换则是线性空间到线性空间的映射。定义如下：

$V_1$ 和 $V_2$ 是两个线性空间，$f:V_1\rightarrow V_2$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的映射，$K$ 是域。如果满足：

都有

则称 $f$ 是线性映射。

$V_1$ 和 $V_2$ 可以是相同维度，此时线性映射是自身到自身的映射，即 $V_1=V_2$。

矩阵

矩阵的发明和向量空间以及线性变换并没有什么必然的联系，只是碰巧我们可以用矩阵作为线映射换的一种表示形式，但矩阵并不等于线性映射，因为线性映射可以有很多表现形式。任何一个矩阵，无关行列的维度，都可以被当做一个线性变换，也是一个线性映射。形式如下：

$M$ 是一个矩阵，列的维数等于 $V_1$ 的维数， 行的维数等于 $V_2$ 的维数。

当矩阵是个方阵时，即 $V_1$ 和 $V_2$ 维数相同，表示的是到自身的线性映射。

可逆线性变换和可逆矩阵

可逆线性变换指该线性映射存在逆映射，既然我们把矩阵作为线性映射的形式，则矩阵是否存在逆矩阵和线性映射是否存在逆映射是等价的。

只有方阵存在逆矩阵，所以只有 $V_1$ 和 $V_2$ 维数相同的线性变换是可逆的。即：

方程组的角度看线性变换

已知 $M$ 和 $v_2$ 求 $v_1$这个问题可以看作是在解方程组。

当 $v_1$ 维度小于 $v_2$时，方程组的个数大于未知变量的个数，一般是无解，但当矩阵的秩（即消去一些方程后留下的有效方程的个数）等于 $v_1$ 维度时，有唯一解。当 $v_1$ 维度大于 $v_2$时，方程组的个数小于未知变量的个数，可能有无穷多解或无解。

当 $v_1$ 等于 $v_2$ 时，同第一种情况，可能无解也可能有唯一解。当矩阵满秩时，矩阵可逆，方程两边同乘 $M^{-1}$ 可以得到 $v_1$ 。方程组的角度来讲，矩阵满秩，有效方程的个数等于未知变量的个数，方程组有唯一解。

映射到自身的线性变换 / 从几何角度看线性变换

映射到自身空间的线性变换是一类特殊变换，代表该变换的矩阵是方阵，因为$V_1$ 和 $V_2$ 维度相同。

图形学中常见的旋转变换，镜面变换， 缩放变换，剪切变换（不包括平移变换，后面会讲）都是映射到自身的线性变换。从几何角度观察这些变换，发现以下性质

• 变换前两点之间的直线，变换后仍然为直线，不发生弯曲。
• 线段的比例不发生变化
• 坐标系原点不发生变化

以上性质其实就是线性变换/映射的几何解释。